Question

对于函数f(x)=2sin(x+

π

12

)sin(

5π

12

-x)，x∈R，下列命题：
①f（x）可以化简为f(x)=sin(2x+

π

6

)；
②函数图象关于直线x=-

π

12

对称；
③函数图象关于点（

5π

12

，0）对称；
④函数图象可看作是把y=sin2x的图象向左平移个

π

6

单位而得到；
⑤函数图象可看作是把y=sin（x+

π

6

）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的

1

2

倍（纵坐标不变）而得到； 其中所有正确的命题的序号是

①③⑤

．
（注：把你认为正确的命题的序号都填上）

Answer 1

分析：利用诱导公式、二倍角公式化简函数，结合三角函数图象的性质进行判断，即可得出结论．

解答：解：①f（x）=2sin（x+

π

12

）cos（x+

π

12

）=sin（2x+

π

6

），即f（x）可以化简为f(x)=sin(2x+

π

6

)，故①正确；
②由①知x=-

π

12

时，f（x）=0，故②不正确；
③x=

5π

12

时，f（x）=0，所以函数图象关于点（

5π

12

，0）对称，故③正确；
④f（x）=sin[2（x+

π

12

）]，所以函数图象可看作是把y=sin2x的图象向左平移个

π

12

单位而得到，故④不正确；
⑤函数图象可看作是把y=sin（x+

π

6

）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的

1

2

倍（纵坐标不变）而得到，故⑤正确，
综上，正确的命题的序号是①③⑤．
故答案为：①③⑤．

点评：本题考查诱导公式、二倍角公式，考查三角函数图象的性质，正确利用三角函数图象的性质是关键．