Question

对于函数f(x)=

1

3x+1+3

+a，a∈R
（1）探索函数y=f（x）的单调性，并用单调性定义证明；
（2）是否存在实数a，使函数y=f（x）为奇函数？

Answer 1

分析：（1）函数的定义域为R，设x₁＜x₂ ，计算 f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），可得f（x）在R上为减函数．
（2）要使函数y=f（x）为奇函数，则有f（0）=0，求得a的值．此时，经过检验有f（x）+f（-x）=0成立，可得结论．

解答：解：（1）函数的定义域为R 设x₁＜x₂ ，∵f（x₁）-f（x₂）=

1

3x1+1+3

-

1

3x2+1+3

=

3x2+1-3x1+1

(3x1+1+3)(3x2+1+3)

＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），f（x）在R上为减函数．
（2）要使函数y=f（x）为奇函数，则有f（0）=0，∴a=-

1

6

．
此时，f（x）=

1

3(3x+1)

-

1

6

，f（-x）=

3x

3(3x+1)

-

1

6

，∵f（x）+f（-x）=0，
∴a=-

1

6

时，f（x）为奇函数．

点评：本题主要考查函数的单调性的判断和证明，奇函数的定义和性质，属于中档题．