Question

已知函数f（x）=x²-1，g（x）=a|x-1|．
（1）若x∈R时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（2）求函数h（x）=|f（x）|+g（x）在区间[-2，2]上的最大值．

Answer 1

考点：分段函数的应用,函数的最值及其几何意义

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）运用参数分离，讨论①当x=1时，②当x≠1时，求出右边函数的取值范围，即可得到a的范围；
（2）将h（x）写成分段函数的形式，再由二次函数的最值求法，注意对称轴和区间的关系，即可得到最值．

解答： 解：（1）不等式f（x）≥g（x）对x∈R恒成立，
即（x²-1）≥a|x-1|（*）对x∈R恒成立，
①当x=1时，（*）显然成立，此时a∈R；
②当x≠1时，（*）可变形为a≤

x2-1

|x-1|

，
令φ(x)=

x2-1

|x-1|

=

x+1，(x＞1) -(x+1)，(x＜1)

，
因为当x＞1时，φ（x）＞2，当x＜1时，φ（x）＞-2，
所以φ（x）＞-2，故此时a≤-2．
综合①②，得所求实数a的取值范围是a≤-2；
（2）h（x）=|f（x）|+g（x）=|x²-1|+a|x-1|=

x2-ax+a-1，-2≤x≤-1 -x2-ax+a+1，-1＜x＜1 x2+ax-a-1，1≤x≤2

，
令

a

2

=-

3

2

，-

a

2

=-1，-

a

2

=1，

a

2

=-

3

2

，则a=-3，a=-2，a=2.h(-2)=3a+3，h(-1)=2a，h(1)=0，h(-

a

2

)=

a2

4

+a+1，h(2)=3+a．
①当a＜-3时，x=

a

2

＜-

3

2

，x=-

a

2

＞

3

2

．
则h（x）_max=max{h（-1），h（1）}=h（1）=0．
①-3≤a≤-2时，-

3

2

＜

a

2

＜-1，1＜-

a

2

＜

3

2

．
则h（x）_max=max{h（-2），h（1），h（2）}，
因为h（-2）=3a+3＜0，h（1）=0，h（2）=3+a≥0，所以h（x）_max=h（2）=3+a．
③当-2＜a＜2时，-1＜

a

2

＜1，-1＜-

a

2

＜1．
则h(x)max=max{h(-2)，h(-

a

2

)，h(2)}，
因为h(-2)=3a+3，h(-

a

2

)=

a2

4

+a+1＜h(2)=3+a．
若-2＜a＜0，h（-2）=3a+3＜h（2）=3+a．所以h（x）_max=h（2）=3+a．
若0≤a＜2，h（-2）=3a+3＞h（2）=3+a．所以h（x）_max=h（-2）=3a+3．
④当a≥2时，

a

2

≥1，-

a

2

≤-1．
则h（x）_max=max{h（-2），h（-1），h（2）}=h（-2）=3a+3．
综上所述，当a＜-3时，h（x）在[-2，2]上的最大值为0；
当-3≤a＜0时，h（x）在[-2，2]上的最大值为a+3；
当a≥0时，h（x）在[-2，2]上的最大值为3a+3．

点评：本题考查不等式的恒成立问题转化为求函数的最值，考查含参的函数的最值，注意运用分类讨论的思想方法，以及二次函数的单调性，结合对称轴和区间的关系，考查运算能力，属于中档题和易错题．