Question

已知函数f（x）=

2x-1

2x+1

．
（1）证明：函数f（x）既是R上的奇函数，也是R上的增函数；
（2）是否存在m使f（2t²-4）+f（4m-2t）＞f（0）对任意t∈[0，1]均成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）显然函数的定义域为R，对任意x∈R，都有f（-x）=

2-x-1

2-x+1

=

(2-x-1)•2x

(2-x+1)•2x

=-

2x-1

2x+1

=-f（x）
所以函数f（x）既是R上的奇函数．
设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=

2x1-1

2x1+1

-

2x2-1

2x2+1

=

(2x1-1)(2x2+1)-(2x1-1)(2x2+1)

(2x1+1)(2x2+1)

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

x₁x₂，∵函数y=2^x是R上的增函数，且x₁＜x₂，∴2x1＜2x2，2x1+1＞0，2x2+1＞0，f（x₁）-f（x₂）＜0．即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）是R上的增函数；
（2）法一：由（1）知，函数f（x）既是R上的奇函数，∴f（0）=0，f（2t²-4）+f（4m-2t）＞f（0）可转化为f（2t²-4）＞-f（4m-2t），即f（2t²-4）＞f（2t-4m），
又函数f（x）是R上的增函数，∴2t²-4＞2t-4m，即2t²-4-2t+4m＞0，令g（t）=2t^2_-2t+4m-4，t∈[0，1]，抛物线g（t）=2t^2_-2t+4m-4的开口向上，对称轴是t=

1

2

，且

1

2

∈[0，1]，所以g（t）min=g（

1

2

）=4m-

9

2

，故只需4m-

9

2

，＞0即可，解得m＞

9

8

．
法二：由（1）知，函数f（x）既是R上的奇函数，∴f（0）=0，f（2t²-4）+f（4m-2t）＞f（0）可转化为f（2t²-4）＞-f（4m-2t），即f（2t²-4）＞f（2t-4m），
又函数f（x）是R上的增函数，∴2t²-4＞2t-4m，即2t²-4-2t+4m＞0，即m＞-

1

2

(t2-t-2)，t∈[0，1]令g（t）=-

1

2

(t2-t-2)，抛物线g（t）=-

1

2

(t2-t-2)，的开口向下，对称轴是t=

1

2

，且

1

2

∈[0，1]，所以g（t）max=g（

1

2

）=

9

8

，故只需m＞

9

8

．
存在m＞

9

8

．使f（2t²-4）+f（4m-2t）＞f（0）对任意t∈[0，1]均成立．