Question

已知a₁=1，a_n=2（

Sn

+

Sn-1

），求a_n通项．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：当n≥2时，a_n=2（

Sn

+

Sn-1

），变形为(

Sn

)2-(

Sn-1

)2=2（

Sn

+

Sn-1

），可得

Sn

-

Sn-1

=2，
利用等差数列的通项公式可得

Sn

，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1即可得出．

解答： 解：∵当n≥2时，a_n=2（

Sn

+

Sn-1

），
∴(

Sn

)2-(

Sn-1

)2=2（

Sn

+

Sn-1

），

∴

Sn

-

Sn-1

=2，
∴数列{

Sn

}是等差数列，
∴

Sn

=

S1

+2(n-1)=2n-1．
∴S_n=（2n-1）²．n=1时也成立．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2n-1）²-（2n-3）²=8（n-1）．
∴an=

1，n=1 8(n-1)，n≥2

．

点评：本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式与前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．