Question

如图，直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）ABC-A₁B₁C₁中，已知AC=BC=AA₁=a，∠ACB=90°，F是棱BB₁上任意一点，D是A₁B₁的中点。

（1）当F是BB₁中点时，求证：A₁B//面C₁DF；
（2）求证：面C₁DF⊥平面A₁B₁BA；
（3）请问，当点F在BB₁上什么位置时，会使得AB₁⊥平面C₁DF？并证明你的结论。

Answer 1

（1）证明：“略”；
（2）证明：“略”；
（3）解：易知C₁D⊥AB₁，
又要使AB₁⊥平面C₁DF，只要DF⊥AB₁即可，
又，且，
∴，
，
∴，
∴，
即当：F点与B点重合时，会使AB₁⊥平面C₁DF。