Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求函数在处的切线方程；

（2）是否存在非负整数，使得函数是单调函数，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；

（3）已知，若存在，使得当时，的最小值是，求实数的取值范围.（注：自然对数的底数）

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，的值是0，1，2；（3）

【解析】

（1）当时求出函数的导数，计算及，利用点斜式，即可求出切线方程。

（2）求出函数的导数，要使函数是单调函数即是使或恒成立，对分类讨论，即可求出非负整数的值。

（3）通过讨论的范围，根据函数的单调性求出的最小值，从而确定实数的取值范围。

解：（1）的定义域为.

当时，，.∴.

所以，函数在处的切线方程为

即

（2）∵，∴，.

当时，.∴是单调减函数.符合

当时，若是单调增函数，则，

即恒成立，这不可能；

若是单调减函数，则，

即恒成立，令，其开口方向向上，对称轴方程为

，，故，∴

又，.

综上，满足条件的非负整数的值是0，1，2

（3）∵

∴

∴

①当0时，.

当时，，在上为减函数；

当时，，在上为增函数.

所以当时，，不符合题意.

②当时，.

（i）当，即时，当变化时，，的变化情况如下：

				1
	－	0	+	0	－
	↘	极小值	↗	极大值	↘

若满足题意，只需满足，整理得.

令，

当时，，

所以在上为增函数，

所以，当时，.

可见，当时，恒成立，故当，时，函数的最小值为.；所以满足题意.

（ⅱ）当，即时，，，0，当且仅当时取等号.

所以在上为减函数.从而在上为减函数.符合题意.

（ⅲ）当，即时，当变化时，，的变化情况如下表：

		1
	－	0	+	0	－
	↘	极小值0	↗	极大值	↘

若满足题意，只需满足，且（若，不符合题意），

即，且.

又，∴.

综上，.

所以实数的取值范围是.