Question

10．在△ABC中，A、B、C分别是三边a，b，c的对角，设$\overrightarrow{m}$=（2b-a，-cosA），$\overrightarrow{n}$=（cosC，c），且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$．
（1）求角C的大小；
（2）若a+b=2$\sqrt{2}$，S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，求c．

Answer 1

分析 （1）由向量垂直的坐标条件、向量的数量积的坐标运算列出方程，利用正弦定理、两角和的正弦公式化简，根据内角的范围求出角C；
（2）由（1）和三角形的面积公式求出ab的值，由余弦定理和整体代换求出c的值．

解答 解：（1）因为$\overrightarrow{m}$=（2b-a，-cosA），$\overrightarrow{n}$=（cosC，c），且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，
所以$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=0，则（2b-a）cosC-c•cosA=0，
由正弦定理得，（2sinB-sinA）cosC-sinCcosA=0，
2sinBcosC-sinAcosC-sinCcosA=0，
2sinBcosC-sin（A+C）=0，
因为A+B+C=π，所以2sinBcosC-sinB=0，
又sinB≠0，则cosC=$\frac{1}{2}$，
由0＜C＜π得，C=$\frac{π}{3}$；
（2）由（1）得，C=$\frac{π}{3}$，
由S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$得，$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，则ab=1，
又a+b=2$\sqrt{2}$，由余弦定理得，
c²=a²+b²-2abcosC=${（a+b）}^{2}-2ab-2ab×\frac{1}{2}$=8-3=5，
则c=$\sqrt{5}$．

点评 本题考查正弦、余弦定理，三角形的面积公式，两角和的正弦公式，以及向量垂直的坐标条件、向量的数量积的坐标运算等，考查公式较多，但难度不大，注意内角的范围．