Question

【题目】如图，在四面体ABCD中，AC＝6，BA＝BC＝5，AD＝CD＝3 .

（1）求证：AC⊥BD；

（2）当四面体ABCD的体积最大时，求点A到平面BCD的距离．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）取AC的中点O，连接OB与OD，证明AC⊥平面OBD，即可得证；

（2）当四面体ABCD的体积最大时，平面DAC⊥平面ABC，利用等体积法求解点到平面距离.

（1）证明：

如图，取AC的中点O，连接OB与OD，∵BA＝BC，

∴AC⊥OB ∵AD＝CD，∴AC⊥OD，又OD∩OB＝O，

∴AC⊥平面OBD，又BD平面OBD，∴AC⊥BD.

（2）由题可知，当四面体ABCD的体积最大时，平面DAC⊥平面ABC，∵DO⊥AC，

∴DO⊥平面ABC，又OB平面ABC，∴DO⊥OB，

∵DA＝DC＝3，AC＝6，AB＝BC＝5，∴OD＝＝＝3，

OB＝＝＝4，∴DB＝＝＝5，

又BC＝5，

∴在△BCD中，CD边上的高h＝＝＝，

∴S△BCD＝×CD×h＝×3×＝，S△ABC＝×AC×OB＝×6×4＝12.

设点A到平面BCD的距离为d，∴VABCD＝VDABC，即S△BCD×d＝S△ABC×OD，

∴d＝＝＝，∴点A到平面BCD的距离为.