Question

（2013•黄浦区二模）下列命题：
①“0＜a≤

1

2

”是“存在n∈N^*，使得(

1

2

)n=a成立”的充分条件；
②“a＞0”是“存在n∈N^*，使得(

1

2

)n＜a成立”的必要条件；
③“a＞

1

2

”是“不等式(

1

2

)n＜a对一切n∈N^*恒成立”的充要条件．
其中所以真命题的序号是（　　）

A．③

B．②③

C．①②

D．①③

Answer 1

分析：选项①“0＜a≤

1

2

”应是“存在n∈N^*，使得(

1

2

)n=a成立”的充要条件；选项②当存在n∈N^*，使得(

1

2

)n＜a成立时，a只需大于(

1

2

)n当n∈N^*，时的最小取值即可，可得a＞0；选项③由充要条件的证明方法可得．

解答：解：选项①当0＜a≤

1

2

时，不一定存在n∈N^*，使得(

1

2

)n=a成立，
比如取a=

1

3

，则不存在自然数n，使(

1

2

)n=

1

3

，故前者是后者的非充分充分条件，
但存在n∈N^*，使得(

1

2

)n=a成立时，a即为(

1

2

)n当n∈N^*，时的取值范围，即0＜a≤

1

2

，
故“0＜a≤

1

2

”应是“存在n∈N^*，使得(

1

2

)n=a成立”的必要非充分条件，故①错误；
选项②当存在n∈N^*，使得(

1

2

)n＜a成立时，a只需大于(

1

2

)n当n∈N^*，时的最小取值即可，
故可得a＞0，故“a＞0”是“存在n∈N^*，使得(

1

2

)n＜a成立”的必要条件，故②正确；
选项③由①知，当n∈N^*时(

1

2

)n的取值范围为0＜a≤

1

2

，
故当a＞

1

2

时，必有“不等式(

1

2

)n＜a对一切n∈N^*恒成立”，
而要使不等式(

1

2

)n＜a对一切n∈N^*恒成立”，只需a大于(

1

2

)n的最大值即可，即a＞

1

2

故“a＞

1

2

”是“不等式(

1

2

)n＜a对一切n∈N^*恒成立”的充要条件．
故选B

点评：本题考查命题真假的判断与应用，涉及指数函数和恒成立问题，属基础题．