Question

如图，在△BCD中，∠BCD=90°，AB⊥平面BCD，E、F分别是AC、AD上的动点，且

AE

AC

=

AF

AD

=λ(0＜λ＜1)．
（1）求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；
（2）若BE⊥AC，求证：平面BEF⊥平面ACD．

Answer 1

分析：（1）由AB⊥平面BCD，知AB⊥CD，由CD⊥BC，知CD⊥平面ABC．由

AE

AC

=

AF

AD

=λ(0＜λ＜1)，知不论λ为何值，恒有EF∥CD，由此能够证明不论λ为何值，恒有平面BEF⊥平面ABC．
（2）由EF⊥平面ABC，知BE⊥EF，由BE⊥AC，知BE⊥平面ACD，由此能够证明平面BEF⊥平面ACD．

解答：（本小题满分15分）
证明：（1）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD，（1分）
∵CD⊥BC且AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC．（4分）
又

AE

AC

=

AF

AD

=λ(0＜λ＜1)，
∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，（5分）
∴EF⊥平面ABC，又EF在平面BEF内，（7分）
∴不论λ为何值，恒有平面BEF⊥平面ABC．（8分）
（2）：由（1）知EF⊥平面ABC，∴BE⊥EF，（10分）
又∵BE⊥AC且EF∩AC=E，∴BE⊥平面ACD，（13分）
又BE在平面BEF内，
∴平面BEF⊥平面ACD．（15分）

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意合理地化空间问题为平面问题，注意空间思维能力的培养．