Question

如图，在△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且

AE

AC

=

AF

AD

=λ（0＜λ＜1）．
（1）判断EF与平面ABC的位置关系并给予证明；
（2）是否存在λ，使得平面BEF⊥平面ACD，如果存在，求出λ的值，如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）不论λ为何值，总有EF⊥平面ABC，只需证CD⊥平面ABC，在△BCD中，根据∠BCD=90°得证；
（2）存在λ=

6

7

，使得平面BEF⊥平面ACD，只需证明λ=

6

7

时，BE⊥平面ACD．

解答：解：（1）EF⊥平面ABC．
证明：因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD，
又在△BCD中，∠BCD=90°，所以BC⊥CD，
又AB∩BC=B，所以CD⊥平面ABC，
又在△ACD，E、F分别是AC、AD上的动点，且

AE

AC

=

AF

AD

=λ（0＜λ＜1）．
∴EF∥CD，
∴EF⊥平面ABC；
（2）存在λ=

6

7

，使得平面BEF⊥平面ACD．
∵CD⊥平面ABC，BE?平面ABC，∴BE⊥CD
在直角△ABD中，∠ADB=60°，∴AB=BDtan60°=

6

，∴AC=

7

当BE⊥AC时，BE=

AB×BC

AC

=

6

7

，AE=

36 7

∴

AE

AC

=

6

7

即λ=

6

7

时，BE⊥AC
∵BE⊥CD，AC∩CD=C
∴BE⊥平面ACD
∵BE?平面BEF
∴平面BEF⊥平面ACD
∴存在λ=

6

7

，使得平面BEF⊥平面ACD．

点评：本题考查线面垂直，考查面面垂直，考查学生分析解决问题的能力．属于中档题．