Question

4．如图，四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，△PAB，△PAD，都是边长为2的等边三角形．
（Ⅰ）证明：平面PDB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求点C到平面PAD的距离．

Answer 1

分析 （1）过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，证明O是BD的中点，即可证明平面PDB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）利用等体积方法求点C到平面PAD的距离．

解答 （I）证明：过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，

由△PAB和△PAD都是等边三角形知PA=PB=PD
∴OA=OB=OD，即O为直角三角形ABD的外心
∴O是BD的中点，
∴PO?平面PDB，
∵PO⊥平面ABCD，
∴平面PDB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）解：由（I）可知DO=$\sqrt{2}$，PO=$\sqrt{4-2}$=$\sqrt{2}$，
设点C到平面PAD的距离为h，则$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×{2}^{2}h=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×\sqrt{2}$，
∴h=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∴点C到平面PAD的距离为$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查平面与平面垂直，考查点到面的距离的计算，考查学生转化的能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．