Question

12．已知f（x）=$\frac{x+1}{{e}^{x}}$（e是自然对数的底数）．
（Ⅰ）求函数f（x）的极大值；
（Ⅱ）令h（x）=a+2f′（x）（a∈R），若h（x）有两个零点，x₁，x₂（x₁＜x₂），求a的取值范围；
（Ⅲ）设F（x）=ae^x-x²，在（Ⅱ）的条件下，试证明0＜F（x₁）＜1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得f（x）的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，进而得到极大值；
（Ⅱ）求出h（x）=a-$\frac{2x}{{e}^{x}}$，令h（x）=0，可得a=$\frac{2x}{{e}^{x}}$，由题意可得x₁，x₂是方程a=$\frac{2x}{{e}^{x}}$的两根，设g（x）=$\frac{2x}{{e}^{x}}$，求出导数和单调区间、极值和最值，可得a的范围；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，函数h（x）的两个零点满足0＜x₁＜1＜x₂，由h（x₁）=0ae^x₁=2x₁，求出F（x₁）的解析式，可得F（x₁）在（0，1）上递增，即可得证．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\frac{x+1}{{e}^{x}}$的导数为f′（x）=$\frac{-x}{{e}^{x}}$，
由f′（x）＞0，可得x＜0；由f′（x）＜0，可得x＞0．
即有f（x）在（0，+∞）递减，在（-∞，0）递增．
可得f（x）在x=0处取得极大值，且为1；
（Ⅱ）h（x）=a+2f′（x）=a-$\frac{2x}{{e}^{x}}$，
令h（x）=0，可得a=$\frac{2x}{{e}^{x}}$，
若函数h（x）有两个零点x₁，x₂，则x₁，x₂是方程a=$\frac{2x}{{e}^{x}}$的两根，
设g（x）=$\frac{2x}{{e}^{x}}$，g′（x）=$\frac{2-2x}{{e}^{x}}$，
由g′（x）＞0，可得x＜1，由g′（x）＜0，可得x＞1，
可得g（x）在（-∞，1）递增，在（1，+∞）递减，
g（x）_max=g（1）=$\frac{2}{e}$，
由x→+∞，g（x）→0；x→-∞，g（x）→-∞．
要使方程a=$\frac{2x}{{e}^{x}}$有两根，可得0＜a＜$\frac{2}{e}$，
故实数a的取值范围是（0，$\frac{2}{e}$）；
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可得，函数h（x）的两个零点满足0＜x₁＜1＜x₂，
由h（x₁）=a-$\frac{2{x}_{1}}{{e}^{{x}_{1}}}$=0，即a=$\frac{2{x}_{1}}{{e}^{{x}_{1}}}$，即ae^x₁=2x₁，
由F（x₁）=ae^x₁-x₁²=2x₁-x₁²=-（x₁-1）²+1，
显然F（x₁）在（0，1）上递增，
由0＜x₁＜1，可得0=F（0）＜F（x₁）＜F（1）=1，
即0＜F（x₁）＜1．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查函数方程的转化思想的运用，注意运用构造函数法和函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．