Question

16．已知函数f（x）=$\frac{x+1}{{e}^{x}}$（e是自然对数的底数），g（x）=f（x）-f′（x）e^2x．
（Ⅰ）若函数y=f（x）-a有两个零点，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若对任意x∈[-1，+∞），g（x）+b＞0恒成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导函数，得到当x＞0时，f′（x）＜0，当x＜0时，f′（x）＞0．由此求得f（x）在（-∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减．得到f（x）_max=1．又当x→+∞时，f（x）→0，可得函数y=f（x）-a有两个零点的实数a的取值范围为（0，1）；
（Ⅱ）g（x）=f（x）-f′（x）e^2x=$\frac{x+1}{{e}^{x}}$+xe^x，求其导函数，可得当x≥0时，g′（x）＞0；当x＜0时，g′（x）＞0．可得g（x）在（-∞，+∞）上单调递增，当x∈[-1，+∞）时，g（x）≥g（-1）=$-\frac{1}{e}$．由$-\frac{1}{e}+b＞0$求得实数b的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\frac{x+1}{{e}^{x}}$，f′（x）=$\frac{{e}^{x}-（x+1）{e}^{x}}{{e}^{2x}}=\frac{-x}{{e}^{x}}$．
当x＞0时，f′（x）＜0，当x＜0时，f′（x）＞0．
∴f（x）在（-∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减．
∴f（x）_max=f（0）=1．
又当x→+∞时，f（x）→0，
∴若函数y=f（x）-a有两个零点，则实数a的取值范围为（0，1）；
（Ⅱ）g（x）=f（x）-f′（x）e^2x=$\frac{x+1}{{e}^{x}}$+xe^x，
g′（x）=$-\frac{x}{{e}^{x}}+{e}^{x}+x{e}^{x}$=$\frac{x（{e}^{2x}-1）}{{e}^{x}}+{e}^{x}$．
当x≥0时，e^2x≥1，$\frac{x（{e}^{2x}-1）}{{e}^{x}}≥0$，g′（x）＞0；
当x＜0时，e^2x＜1，$\frac{x（{e}^{2x}-1）}{{e}^{x}}≥0$，g′（x）＞0．
∴g（x）在（-∞，+∞）上单调递增，当x∈[-1，+∞）时，g（x）≥g（-1）=$-\frac{1}{e}$．
故只需$-\frac{1}{e}+b＞0$，b$＞\frac{1}{e}$．
即实数b的取值范围为（$\frac{1}{e}，+∞$）．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的极值，训练了恒成立问题的求解方法，体现了分类讨论的数学思想方法，属难题．