Question

7．如图，已知PD⊥平面α，A∈α，B∈α，∠APB=90°，PA、PB与α所成角分别是30°，45°，PD=1，求AB的长．

Answer 1

分析 PD⊥平面α，可得PD⊥AD，PD⊥DB，∠PAD=30°，∠PBD=45°．分别在Rt△ADP中，在Rt△BDP中，利用直角三角形边角关系可得PA，PB．在Rt△ABP中，AB=$\sqrt{P{A}^{2}+P{B}^{2}}$，即可得出．

解答 解：∵PD⊥平面α，∴PD⊥AD，PD⊥DB．
∴∠PAD=30°，∠PBD=45°．
在Rt△ADP中，AP=$\frac{PD}{sin3{0}^{°}}$=$\frac{1}{\frac{1}{2}}$=2．
在Rt△BDP中，BP=$\frac{PD}{sin4{5}^{°}}$=$\sqrt{2}$．
在Rt△ABP中，AB=$\sqrt{P{A}^{2}+P{B}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、线面角、直角三角形的边角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．