Question

19．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，G为三角形的重心，且满足a$\overrightarrow{GA}$+b$\overrightarrow{GB}$+c$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，则角C=（　　）

• A． 30°
• B． 45°
• C． 60°
• D． 120°

Answer 1

分析 可画出图形，根据向量加法的平行四边形法则及向量的数乘运算便可得出$\overrightarrow{GA}=-\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，$\overrightarrow{GB}=-\frac{1}{3}（-2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，$\overrightarrow{GC}=-\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}）$，这样带入$a\overrightarrow{GA}+b\overrightarrow{GB}+c\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$并进行向量的数乘运算整理可得到$（-\frac{1}{3}a+\frac{2}{3}b-\frac{1}{3}c）\overrightarrow{AB}+（-\frac{1}{3}a-\frac{1}{3}b+\frac{2}{3}c）$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}$，从而便可得出$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{3}a+\frac{2}{3}b-\frac{1}{3}c=0}\\{-\frac{1}{3}a-\frac{1}{3}b+\frac{2}{3}c=0}\end{array}\right.$，进行整理便可得出a=b=c，从而便可得出角C的大小．

解答 解：如图，
根据条件，$\overrightarrow{GA}=-\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，$\overrightarrow{GB}=-\frac{1}{3}（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}）=-\frac{1}{3}（-2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，$\overrightarrow{GC}=-\frac{1}{3}（\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}）=-\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}）$；
又$a\overrightarrow{GA}+b\overrightarrow{GB}+c\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$；
∴$-\frac{1}{3}a（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）-\frac{1}{3}b（-2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$$-\frac{1}{3}c（\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}）$=$（-\frac{1}{3}a+\frac{2}{3}b-\frac{1}{3}c）\overrightarrow{AB}$$+（-\frac{1}{3}a-\frac{1}{3}b+\frac{2}{3}c）\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{3}a+\frac{2}{3}b-\frac{1}{3}c=0}\\{-\frac{1}{3}a-\frac{1}{3}b+\frac{2}{3}c=0}\end{array}\right.$；
整理得a=b=c；
∴△ABC为等边三角形，则：C=60°．
故选C．

点评 考查三角形重心的概念及性质，向量加法的平行四边形法则，以及向量数乘的几何意义及向量的数乘运算，平面向量基本定理．