Question

14．人如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥CD，∠BAD=60°，AB=2AD，AP⊥BD．
（1）证明：平面ABD⊥平面PAD；
（2）若PA与平面ABCD所成的角为60°，AD=2，PA=PD，求点C到平面PAB的距离．

Answer 1

分析 （1）证明：BD⊥平面PAD，即可证明平面ABD⊥平面PAD；
（2）利用等体积方法点C到平面PAB的距离．

解答 （1）证明：∵∠BAD=60°，AB=2AD，
∴AD⊥BD，
∵AP⊥BD，AP∩AD=A，
∴BD⊥平面PAD，
∵BD?平面ABD，
∴平面ABD⊥平面PAD；
（2）解：设点C到平面PAB的距离为h．取AD的中点O，连接PO，BO，则PO⊥AD，
∵平面ABD⊥平面PAD，
∴PO⊥平面ABD，
∴PO⊥BO，∠PAO=60°，
∵AD=2，AB=2AD，
∴AB=4，PA=2，DB=2$\sqrt{3}$，BO=$\sqrt{13}$，
∴PB=4，
∴S_△PAB=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{16-1}$=$\sqrt{15}$，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}×4×\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
∴由等体积可得$\frac{1}{3}×\sqrt{15}h=\frac{1}{3}×2\sqrt{3}×\sqrt{3}$，
∴h=$\frac{3\sqrt{15}}{5}$．

点评 本题考查线面、面面垂直的判定，考查点到平面距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．