Question

2．如图，直线l⊥平面α，垂足为O，正四面体（所有棱长都相等的三棱锥）ABCD的棱长为a，C在平面α内，B是直线l上的动点，当点O到AD的距离最大时，直线AD与平面α的距离为$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$a．

Answer 1

分析 由题意，直线BC与动点O的位置关系是：点O是以BC为直径的球面上的点，因此O到AD的距离为四面体上以BC为直径的球面上的点到AD的距离，故最大距离为AD到球心的距离（即BC与AD的公垂线）+半径=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a+$\frac{1}{2}$a．再考虑取得最大距离时四面体的情况，此时AD⊥平面OBC，OB=OC=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，且AD∥平面α，再利用直角三角形的边角关系即可得出．

解答 解：由题意，直线BC与动点O的位置关系是：点O是以BC为直径的球面上的点，
∴O到AD的距离为四面体上以BC为直径的球面上的点到AD的距离，
因此：最大距离为AD到球心的距离（即BC与AD的公垂线）+半径
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a+$\frac{1}{2}$a；
再考虑取得最大距离时四面体的情况，
此时AD⊥平面OBC，OB=OC=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，且AD∥平面α，
取AD的中点E，则OCEB四点在同一个平面上．
过点E作EF⊥OC，垂足为F，∵平面OCEB⊥α，则EF⊥α．
取BC的中点M，此时O，E，M是三点共线，
∴直线AD与平面α的距离=EF=OEsin∠EOF=$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$a×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$a．
故答案为：$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$a．

点评 本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、球的性质、正四面体的性质、直角三角形的边角关系，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于难题．