Question

11．已知P（x，y）是函数y=1+lnx图象上一点，O是坐标原点，直线OP的斜率为f（x）．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）设g（x）=$\frac{x}{a（1-x）}$[xf（x）-1]，若对任意的x∈（0，1）恒有g（x）＞-1，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意利用斜率公式可得函数f（x）的解析式，求出导函数分别由导函数大于0和小于0求出原函数的单调区间，进一步求得极值；
（Ⅱ）把f（x）的解析式代入g（x）=$\frac{x}{a（1-x）}$[xf（x）-1]，分析可知，若a＜0，当x∈（0，1）时，f（x）＞0与题意不符．可得a＞0．由g（x）＞-1，得$\frac{xlnx}{a（1-x）}＞-1⇒lnx+\frac{a（1-x）}{x}＞0$，构造函数$h（x）=lnx+\frac{a（1-x）}{x}=lnx+\frac{a}{x}-a，x∈（0，1）$，求其导函数，然后对a分类分析得答案．

解答 解：（Ⅰ）依题意，P（x，1+lnx），则$f（x）=\frac{1+lnx}{x}$，x＞0，
于是，$f'（x）=-\frac{lnx}{x^2}$，
当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0．
∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
故f（x）在x=1处取得极大值，且极大值为f（1）=1；无极小值．
（Ⅱ）$g（x）=\frac{x}{a（1-x）}[{xf（x）-1}]=\frac{xlnx}{a（1-x）}$，
可知，若a＜0，∵x∈（0，1），∴f（x）＞0与题意不符．则a＞0．
由g（x）＞-1，得$\frac{xlnx}{a（1-x）}＞-1⇒lnx+\frac{a（1-x）}{x}＞0$，
记$h（x）=lnx+\frac{a（1-x）}{x}=lnx+\frac{a}{x}-a，x∈（0，1）$，$h'（x）=\frac{1}{x}-\frac{a}{x^2}=\frac{x-a}{x^2}$．
①若a≥1，则h'（x）＜0恒成立，从而h（x）在（0，1）上递减，h（x）＞h（1）=0，满足题意；
②若0＜a＜1，则当x∈（0，a）时，h'（x）＜0；x∈（a，1）时，h'（x）＞0，
∴h（x）在（0，a）上递减，在（a，1）上递增．
∴x∈（a，1）时，h（x）＜h（1）=0，不满足题意．
综上，a的取值范围是[1，+∞）．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的极值，训练了恒成立问题的求解方法，体现了分类讨论的数学思想方法，属难题．