Question

3．已知直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AB=2，AC=2，AA₁=3，求：
（1）三棱锥B₁-ABC的体积；
（2）求二面角B₁-AC-B的大小．

Answer 1

分析 （1）先求出S_△ABC，三棱锥B₁-ABC的体积V=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•B{B}_{1}$，由此能求出结果．
（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B₁-AC-B的大小．

解答 解：（1）∵直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AB=2，AC=2，AA₁=3，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×2×2=2$，
∴三棱锥B₁-ABC的体积V=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•B{B}_{1}$=$\frac{1}{3}×2×3$=2．
（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，
A（2，0，0），C（0，0，0），B₁（0，2，3），
$\overrightarrow{CA}$=（2，0，0），$\overrightarrow{C{B}_{1}}$=（0，2，3），
设平面ACB₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CA}=2x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{B}_{1}}=2y+3z=0}\end{array}\right.$，取y=3，得$\overrightarrow{n}$=（0，3，-2），
平面ABC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
设二面角B₁-AC-B的大小为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{13}}$=$\frac{2\sqrt{13}}{13}$．
∴θ=arccos$\frac{2\sqrt{13}}{13}$．
∴二面角B₁-AC-B的大小为arccos$\frac{2\sqrt{13}}{13}$．

点评 本题考查三棱锥的体积的求法，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．