Question

8．如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是矩形，E是CD的中点，D₁E⊥BC．
（1）求证：四边形BCC₁B₁是矩形；
（2）若AA₁=$\sqrt{2}$，BC=DE=D₁E=1，求平面BCC₁B₁与平面BED₁所成锐二面角的大小．

Answer 1

分析 （1）推导出BC⊥DC，BC⊥CC₁，由此能证明四边形BCC₁B₁是矩形．
（2）取AB中点F，以E为原点，EF为x轴，EC为y轴，ED₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面BCC₁B₁与平面BED₁所成锐二面角的大小．

解答 证明：（1）∵底面ABCD是矩形，∴BC⊥DC，
∵E是CD的中点，D₁E⊥BC，D₁E∩DC=E，
∴BC⊥平面DCC₁D₁，∴BC⊥CC₁，
∵在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
四边形BCC₁B₁是平行四边形，
∴四边形BCC₁B₁是矩形．
解：（2）∵底面ABCD和侧面BCC₁B₁是矩形，
∴BC⊥CD，BC⊥CC₁，
又∵CD∩CC₁=C，∴BC⊥平面DCC₁D₁，
在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DD₁∥B₁BCC₁，
E是CD的中点，
AA₁=$\sqrt{2}$，BC=DE=D₁E=1，
∴D₁E⊥CD，
取AB中点F，以E为原点，EF为x轴，EC为y轴，ED₁为z轴，建立空间直角坐标系，
E（0，0，0），B（1，1，0），D₁（0，0，1），C（0，1，0），C₁（0，2，1），
$\overrightarrow{EB}$=（1，1，0），$\overrightarrow{E{D}_{1}}$=（0，0，1），$\overrightarrow{BC}$=（-1，0，0），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-1，1，1），
设平面EBD₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EB}=x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{E{D}_{1}}=z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，0），
设平面BCC₁B₁的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=-a=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{B{C}_{1}}=-a+b+c=0}\end{array}\right.$，取b=1，得$\overrightarrow{m}$=（0，1，-1），
设平面BCC₁B₁与平面BED₁所成锐二面角的大小为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}•\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴θ=60°，
∴平面BCC₁B₁与平面BED₁所成锐二面角的大小为60°．

点评 本题考查四边形是矩形的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．