Question

20．已知四棱锥P一OABC中，PO=3，OA=$\sqrt{7}$，AB=BC=4，PO⊥面OABC，PB⊥BC，且PB与平面OABC所成角为30°，求面APB与面CPB所成二面角的余弦值．

Answer 1

分析 以B为原点，BO为x轴，BC为y轴，过B作平面BCO的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出面APB与面CPB所成二面角的余弦值．

解答 解：∵PO⊥平面OABC，∴∠PBO是二面角的平面角，
∵四棱锥P一OABC中，PO=3，OA=$\sqrt{7}$，AB=BC=4，
PO⊥面OABC，PB⊥BC，且PB与平面OABC所成角为30°，
∴∠PBO=30°，PB=6，OB=3$\sqrt{3}$，PC=$\sqrt{P{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$2\sqrt{13}$，CO=$\sqrt{52-9}$=$\sqrt{43}$，
∴BO²+BC²=CO²，∴BO⊥BC，
以B为原点，BO为x轴，BC为y轴，过B作平面BCO的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
A（2$\sqrt{3}$，-2，0），B（0，0，0），P（3$\sqrt{3}$，0，3），
C（0，4，0），
$\overrightarrow{PA}$=（-$\sqrt{3}$，-2，-3），$\overrightarrow{PB}$=（-3$\sqrt{3}$，0，-3），$\overrightarrow{PC}$=（-3$\sqrt{3}$，4，-3），
设平面APB的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}=-\sqrt{3}x-2y-3z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=-3\sqrt{3}x-3z=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，3，-3$），
设平面CPB的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PB}=-3\sqrt{3}a-3c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=-3\sqrt{3}a+4b-3c=0}\end{array}\right.$，取a=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，0，-3），
设面APB与面CPB所成二面角的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{12}{\sqrt{12}•\sqrt{21}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．
∴面APB与面CPB所成二面角的余弦值为$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．