Question

12．已知抛物线C：y²=2px（p＞0），F是C的焦点，纵坐标为2的定点M在抛物线上，且满足$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{MF}$=-4，过点F作直线l与C相交于A，B两点，记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（1）求曲线C的方程；
（2）设l的斜率为1，求$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$夹角的大小；
（3）设$\overrightarrow{FB}$=λ$\overrightarrow{AF}$，若λ∈[4，9]，求l在y轴上截距的变化范围．

Answer 1

分析 （1）设M及F点坐标，求得向量$\overrightarrow{OM}$和$\overrightarrow{MF}$，根据向量的数量积的坐标表示求得p的值，即可求得抛物线方程；
（2）先根据抛物线方程求得焦点的坐标，进而可求得直线l的方程，代入抛物线方程消去，根据韦达定理及平面向量的数量积运算，可求$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$夹角的余弦值；
（3）由向量数量积的坐标表示，得${y}_{2}^{2}$=λ²${y}_{1}^{2}$，由点A和B在抛物线上，得到B的坐标，根据焦点坐标可得直线的方程，进而求得直线在y轴上的截距，判断g（λ）=$\frac{2\sqrt{λ}}{λ-1}$，在[4，9]上是单调递减，即可l在y轴上截距的变化范围．

解答 解：（1）由题意可知M坐标为（$\frac{4}{2p}$，2），F（$\frac{p}{2}$，0）
由$\overrightarrow{OM}$=（$\frac{4}{2p}$，2），$\overrightarrow{MF}$=（$\frac{{p}^{2}-4}{2p}$，-2），
$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{MF}$=-4，即$\frac{4}{2p}$×$\frac{{p}^{2}-4}{2p}$-4=-4，解得：p=2，
曲线C的方程y²=4x；
（2）抛物线C的焦点为F（1，0），直线l的斜率为1，
∴l的方程为y=x-1，
将y=x-1代入方程y²=4x整理得：x²-6x+1=0，
由韦达定理可知：x₁+x₂=6，x₁•x₂=1，
∴y₁+y₂=4，y₁•y₂=-4，
cos＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$＞=$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}{丨\overrightarrow{OA}丨丨\overrightarrow{OB}丨}$=$\frac{{x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}}{\sqrt{{x}_{1}^{2}+{y}_{1}^{2}}•\sqrt{{x}_{2}^{2}+{y}_{2}^{2}}}$=-$\frac{3\sqrt{41}}{41}$，
$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$夹角的余弦值为-$\frac{3\sqrt{41}}{41}$；
（3）由题设得：（x₂-1，y₂）=λ（1-x₁，-y₁），
即x₂-1=λ（1-x₁），y₂=-λy₁，
整理得：${y}_{2}^{2}$=λ²${y}_{1}^{2}$，
∵${y}_{1}^{2}$=4x₁，${y}_{2}^{2}$=4x₂，
∴x₂=λ²x₁，
∴x₂=λ根据题意有λ＞0，
∴B（λ，2$\sqrt{λ}$）或B（λ，-2$\sqrt{λ}$），
又F（1，0），
得直线l的方程为（λ-1）y=2$\sqrt{λ}$（x-1）或（λ-1）y=-2$\sqrt{λ}$（x-1），
当λ∈[4，9]，时，l在y轴上的截距为$\frac{2\sqrt{λ}}{λ-1}$或-$\frac{2\sqrt{λ}}{λ-1}$，
设g（λ）=$\frac{2\sqrt{λ}}{λ-1}$，λ∈[4，9]，
∴g（λ）=$\frac{2\sqrt{λ}}{λ-1}$，在[4，9]，上是递减，
∴$\frac{3}{4}$≤$\frac{2\sqrt{λ}}{λ-1}$≤$\frac{4}{3}$或-$\frac{4}{3}$≤-$\frac{2\sqrt{λ}}{λ-1}$≤-$\frac{3}{4}$，
∴直线l在y轴上截距的变化范围为$\frac{3}{4}$≤$\frac{2\sqrt{λ}}{λ-1}$≤$\frac{4}{3}$或-$\frac{4}{3}$≤-$\frac{2\sqrt{λ}}{λ-1}$≤-$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，一元二次方程根与系数的关系，向量数量积的坐标表示，考查分析问题及解决问题的能力，属于中档题．