Question

3．已知函数f（x）=xlnx-ax²是减函数．
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）证明：对任意n∈N，n＞1，都有$\frac{1}{2ln2}$+$\frac{1}{3ln3}$+…+$\frac{1}{nlnn}$＞$\frac{3{n}^{2}-n-2}{2n（n+1）}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得f（x）的导数，由题意可得f′（x）≤0在x＞0恒成立，由参数分离和构造函数，求出导数和单调区间，可得最大值，即可得到a的范围；
（Ⅱ）设h（x）=xlnx-$\frac{1}{2}$x²，求出导数，判断单调性，可得x≥2时，xlnx＜$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{xlnx}$＞$\frac{2}{{x}^{2}-1}$，则n≥2时，$\frac{1}{nlnn}$＞$\frac{2}{{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$，再由裂项相消求和，化简整理，即可得证．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=xlnx-ax²的导数为f′（x）=1+lnx-2ax，
函数f（x）=xlnx-ax²是减函数，可得f′（x）≤0在x＞0恒成立，
即为2a≥$\frac{1+lnx}{x}$在x＞0恒成立，
设g（x）=$\frac{1+lnx}{x}$，g′（x）=$\frac{-lnx}{{x}^{2}}$，
当0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）递增；
当x＞1时，g′（x）＜0，g（x）递减．
可得g（x）在x=1处取得极大值，且为最大值1．
则2a≥1，解得a≥$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）证明：设h（x）=xlnx-$\frac{1}{2}$x²，
h′（x）=1+lnx-x，h″（x）=$\frac{1}{x}$-1，
当x＞1时，h″（x）＜0，h′（x）＜h′（1）=0，
h（x）在（1，+∞）递减，即有h（x）＜h（1）=-$\frac{1}{2}$，
即x＞1时，xlnx-$\frac{1}{2}$x²＜-$\frac{1}{2}$，
x≥2时，xlnx＜$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$，
即$\frac{1}{xlnx}$＞$\frac{2}{{x}^{2}-1}$，
则n≥2时，$\frac{1}{nlnn}$＞$\frac{2}{{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$，
即有$\frac{1}{2ln2}$+$\frac{1}{3ln3}$+…+$\frac{1}{nlnn}$＞1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n-2}$-$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$
=1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{3{n}^{2}-n-2}{2n（n+1）}$．
故对任意n∈N，n＞1，都有$\frac{1}{2ln2}$+$\frac{1}{3ln3}$+…+$\frac{1}{nlnn}$＞$\frac{3{n}^{2}-n-2}{2n（n+1）}$．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和构造函数法，考查不等式的证明，注意运用函数的单调性和裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．