Question

20．已知函数f（x）=$\frac{ln（x-1）}{x-2}$（x＞2）．
（Ⅰ） 判断函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若存在实数a，使得f（x）＜a对?x∈（2，+∞）均成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）法1：求函数的导数f′（x），构造函数g（x）=（x-2）-（x-1）ln（x-1）（x＞2），利用导数判断函数的单调性即可，
法2：求函数的导数构造函数$g（x）=\frac{x-2}{x-1}-ln（x-1）$（x≥2），求函数的导数进行判断即可．
（Ⅱ）求函数的导数，将不等式恒成立进行转化，利用参数分离法进行转化求解即可．

解答 解：（Ⅰ） 解法1：$f'（x）=\frac{{\frac{x-2}{x-1}-ln（x-1）}}{{{{（x-2）}^2}}}$=$\frac{（x-2）-（x-1）ln（x-1）}{{（x-1）{{（x-2）}^2}}}$，-----------（2分）
记g（x）=（x-2）-（x-1）ln（x-1）（x＞2），g'（x）=-ln（x-1）＜0，----------（3分）
即g（x）在（2，+∞）上单调递减，∴g（x）＜g（2）=0
从而f'（x）＜0，∴函数f（x）在（2，+∞）上的单调递减．----------------------------（5分）
解法2：依题意得$f'（x）=\frac{{\frac{x-2}{x-1}-ln（x-1）}}{{{{（x-2）}^2}}}$，--------------------------------------------（2分）
记$g（x）=\frac{x-2}{x-1}-ln（x-1）$（x≥2）
则$g'（x）=\frac{1}{{{{（x-1）}^2}}}-\frac{1}{x-1}$=$\frac{2-x}{{{{（x-1）}^2}}}$，---------------------------------------------------------（3分）
∵x＞2∴g'（x）＜0，即函数g（x）在（2，+∞）上单调递减，
∴g（x）＜g（2）=0，从而得f'（x）＜0，
∴函数f（x）在（2，+∞）上的单调递减．--------------------------------------------------（5分）
（Ⅱ） 解法1：f（x）＜a对?x∈（2，+∞）均成立，
等价于ln（x-1）＜a（x-2）对?x∈（2，+∞）均成立，-------------------------------------（6分）
由y=ln（x-1）得$y'=\frac{1}{x-1}$，由此可得函数y=ln（x-1）的图象在点（2，0）处的切线
为y=x-2，-----------------------------------------------------------------------------------------（7分）
（1）当a＜1时，在（2，+∞）上，直线y=a（x-2）与函数y=ln（x-1）的图象相交，不合题意；---（9分）
（2）当a≥1时，在（2，+∞）上，直线y=a（x-2）在函数y=ln（x-1）的图象的上方，符合题意---------------（11分）
综上得：要使f（x）＜a对?x∈（2，+∞）均成立，a∈[1，+∞）．------------------------------（12分）
解法2：f（x）＜a对?x∈（2，+∞）均成立，
等价于ln（x-1）＜a（x-2）对?x∈（2，+∞）均成立---------------------------------------（5分）
记h（x）=ln（x-1）-a（x-2），则$h'（x）=\frac{1}{x-1}-a$=$\frac{1+a-ax}{x-1}$=$\frac{-a}{x-1}（x-\frac{a+1}{a}）$-------（6分）h（2）=0，令h'（x）=0得$x=\frac{1+a}{a}$，$\frac{a+1}{a}＞2?0＜a＜1$，
（1）当a≤0时，对?x∈（2，+∞），h'（x）＞0，即函数h（x）在（2，+∞）单调递增，
故h（x）＞h（2）=0，即ln（x-1）-a（x-2）＞0，不符合题意；---------------------------（8分）
（2）当0＜a＜1时，对$?x∈（2，\frac{1+a}{a}）$，h'（x）＞0，
此时函数h（x）在$（2，\frac{1+a}{a}）$上为增函数，即ln（x-1）-a（x-2）＞0，不符合题意；-----（10分）
（3）当a≥1时，对?x∈（2，+∞），有h'（x）＜0，函数h（x）在（2，+∞）单调递减，
因此ln（x-1）-a（x-2）＜h（2）=0，符合题意；
综上得：要使f（x）＜a对?x∈（2，+∞）均成立，a∈[1，+∞）．------------------------（12分）

点评 本题主要考查函数单调性的判断以及不等式恒成立问题，求函数的导数，利用参数分离法以及构造法构造新函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．