Question

13．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，AB∥CD，PA=PD=AD=1，DC=2AB=4AD，∠ADC=120°，E为PC的中点．
（1）求证：直线BE∥平面PAD；
（2）求二面角P-BD-E的大小．

Answer 1

分析 （1）取CD中点F，连结EF、BF，推导出平面PAD∥平面BEF，由此能证明直线BE∥平面PAD．
（2）取AD中点O，AB中点G，以O为原点，OA为x轴，OG为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P-BD-E的大小．

解答 证明：（1）取CD中点F，连结EF、BF，
∵DC=2AB=4AD，E为PC的中点，∴EF∥PD，AB$\underset{∥}{=}$DF，
∴四边形ABFD是平行四边形，∴BF∥AD，
∵PD∩AD=D，EF∩BF=F，AD、PD?平面PAD，EF、BF?平面BEF，
∴平面PAD∥平面BEF，
∵BE?平面BEF，∴直线BE∥平面PAD．
解：（2）取AD中点O，AB中点G，连结PO、AG，
∵平面PAD⊥底面ABCD，PA=PD=AD=1，DC=2AB=4AD，
∴PO⊥AD，∵平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PO⊥平面ABCD，
∵AB∥CD，∠ADC=120°，∴∠BAD=60°，
∴BD=$\sqrt{1+4-2×1×2×cos60°}$=$\sqrt{3}$，
∴AD²+BD²=AB²，∴AD⊥BD，∴AO⊥OG，
以O为原点，OA为x轴，OG为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
P（0，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，D（-$\frac{1}{2}$，0，0），B（-$\frac{1}{2}$，$\sqrt{3}$，0），C（-2，2$\sqrt{3}$，0），E（-1，$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$），
$\overrightarrow{DB}$=（0，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{DP}$=（$\frac{1}{2}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{DE}$=（-$\frac{1}{2}$，$\sqrt{3}，\frac{\sqrt{3}}{4}$），
设平面BDP的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=\sqrt{3}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DP}=\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，0，-1），
设平面BDE的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DB}=\sqrt{3}b=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DE}=-\frac{1}{2}a+\sqrt{3}b+\frac{\sqrt{3}}{4}c=0}\end{array}\right.$，取a=3，得$\overrightarrow{m}$=（3，0，2$\sqrt{3}$），
设二面角P-BD-E的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{21}•\sqrt{4}}$=$\frac{\sqrt{7}}{14}$，
$θ=arccos\frac{\sqrt{7}}{14}$．
∴二面角P-BD-E的大小为arccos$\frac{\sqrt{7}}{14}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．