Question

18．如图所示，在四棱锥A-BCDEE中，AE⊥面BCDE，△BCE是正三角形，BD和CE的交点F恰好平分CE．又AE=BE=2，∠CDE=120°，AG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（Ⅰ）证明平面ABD⊥平面AEC；
（Ⅱ）求二面角B-FG-C的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出BD⊥CE，BD⊥AE，从而BD⊥平面AEC，由此能证明平面ABD⊥平面AEC．
（Ⅱ）以F为原点，FB为x轴，FC为y轴，过F作平面BCDE的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-FG-C的正弦值．

解答 证明：（Ⅰ）∵△BCE是正三角形，BD和CE的交点F恰好平分CE，
∴BD⊥CE，
∵AE⊥面BCDE，BD?平面BCDE，
∴BD⊥AE，
∵AE∩CE=E，∴BD⊥平面AEC，
∵BD?平面ABD，∴平面ABD⊥平面AEC．
解：（Ⅱ）以F为原点，FB为x轴，FC为y轴，过F作平面BCDE的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
B（$\sqrt{3}$，0，0），F（0，0，0），A（0，-1，2），G（$\frac{\sqrt{3}}{4}$，-$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{2}$），C（0，1，0），
$\overrightarrow{FB}$=（$\sqrt{3}，0，0$），$\overrightarrow{FG}$=（$\frac{\sqrt{3}}{4}，-\frac{3}{4}，\frac{3}{2}$），$\overrightarrow{FC}$=（0，1，0），
设平面BFG的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FB}=\sqrt{3}x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FG}=\frac{\sqrt{3}}{4}x-\frac{3}{4}y+\frac{3}{2}z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，2，1），
设平面CFG的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{FG}=\frac{\sqrt{3}}{4}a-\frac{3}{4}b+\frac{3}{2}c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{FC}=b=0}\end{array}\right.$，取c=1，得$\overrightarrow{m}$=（-2$\sqrt{3}$，0，1），
设二面角B-FG-C的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{13}•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{65}}{65}$．
sinθ=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{65}}{65}）^{2}}$=$\frac{8\sqrt{65}}{65}$．
∴二面角B-FG-C的正弦值为$\frac{8\sqrt{65}}{65}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．