Question

10．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-4t+a\\ y=3t-1\end{array}\right.$（t为参数），在直角坐标系xOy中，以O点为极点，x轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，设圆M的方程为ρ²-6ρsinθ=-8．
（Ⅰ）求圆M的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l截圆M所得弦长为$\sqrt{3}$，求实数a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据条件、极坐标与直角坐标的互化公式，把圆M的极坐标方程化为直角坐标方程．
（Ⅱ） 把直线l的参数方程消去参数，化为直角坐标方程，再根据条件以及点到直线的距离公式、弦长公式，求得a的值．

解答 解：（Ⅰ） 因为圆M的方程为 ρ²-6ρsinθ=-8，化为直角坐标方程为x²+y²-6y=-8，即x²+（y-3）²=1，
所以圆M的直角坐标方程为x²+（y-3）²=1．
（Ⅱ） 把直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}x=-4t+a\\ y=3t-1\end{array}\right.$（t为参数）消去参数，化化为普通方程得：3x+4y-3a+4=0．
因为直线l截圆M所得弦长为$\sqrt{3}$，且圆M的圆心M（0，3）到直线l的距离d=$\frac{|0+12-3a+4|}{\sqrt{9+16}}$=$\sqrt{1{-（\frac{\sqrt{3}}{2}）}^{2}}$，
解得a=$\frac{9}{2}$，或 a=$\frac{37}{6}$．

点评 本题主要考查把极坐标方程、参数方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于基础题．