Question

15．如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=2，点E是SD的中点，O是AC与BD的交点．
（1）求证：OE∥平面SBC；
（2）求点E到平面SBC的距离．

Answer 1

分析 （1）由线面平行的判定定理即可得到结论．
（2）过D做DF⊥SC，垂足为F，证明DF⊥平面SBC，求出DF，利用点E是SD的中点，求点E到平面SBC的距离．

解答 （1）证明：连接OE，则O是BD的中点，
∵E是SD的中点，
∴OE是△BDS的中位线，
∴OE∥SB，
∵OE?平面SBC，SB?平面SBC，
∴OE∥平面SBC；
（2）解：过D做DF⊥SC，垂足为F，
∵SD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴SD⊥BC，
∵BC⊥CD，SD∩CD=D，
∴BC⊥平面SCD，
∴BC⊥DF，
∵SC∩BC=C，
∴DF⊥平面SBC，
∵SD=AD=2，
∴DF=$\sqrt{2}$，
∵点E是SD的中点，
∴点E到平面SBC的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查线面平行的判断以及点E到平面SBC的距离，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．