Question

4．求点P（3，-1，2）到直线$\left\{\begin{array}{l}{x+y-z+1=0}\\{2x-y+z-4=0}\end{array}\right.$的距离．

Answer 1

分析 求出过P（3，-1，2）且与已知直线垂直的平面方程，可得交点B的坐标，利用空间两点间的距离公式，即可得出结论．

解答 解：两个平面的法向量分别为$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（1，1，-1），$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（2，-1，1），
因此与已知直线垂直的平面的法向量为$\overrightarrow{n}$=（0，-3，-3），
那么过 P（3，-1，2）且与已知直线垂直的平面方程为-3（y+1）-3（z-2）=0，
化简得 y+z-1=0，联立三个方程：x+y-z+1=0，2x-y+z-4=0，y+z-1=0，可解得交点坐标为 （1，-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），
因此，所求距离为$\sqrt{（3-1）^{2}+（-1+\frac{1}{2}）^{2}+（2-\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查空间距离的计算，考查直线、平面方程，考查学生的计算能力，求出B的坐标是关键．