Question

12．如图，平行四边形ABCD中，AB⊥BD，DE⊥BC，∠A=60°，将△ABD，△DCE分别沿BD，DE折起，使AB∥CE．
（1）求证：AB⊥BE；
（2）若四棱锥D-ABEC的体积为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，求CE长并求点C到面ADE的距离．

Answer 1

分析 （1）由DE⊥CE，CE∥AB可得AB⊥DE，又AB⊥BD，得出AB⊥平面BDE，故而AB⊥BE；
（2）在平行四边形ABCD中，设CE=x，求出AB，BE，DE，利用四棱锥D-ABEC的体积为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，解出x，利用等体积求点C到面ADE的距离．

解答 （1）证明：∵DE⊥CE，AB∥CE，
∴AB⊥DE，又AB⊥BD，DE?平面BDE，BD?平面BDE，BD∩DE=D，
∴AB⊥平面BDE，∵BE?平面BDE，
∴AB⊥BE．
（2）解：∵DE⊥BE，DE⊥CE，BE∩CE=E，
∴DE⊥平面ABEC，
在平行四边形ABCD中，设CE=x，则AB=CD=2x，DE=$\sqrt{3}$x，BE=3x，
∴V_D-ABEC=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×$（x+2x）×3x×$\sqrt{3}$x=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
∴x=1．即CE=1．
S_△ACE=$\frac{1}{2}×1×3$=$\frac{3}{2}$，S_△ADE=$\frac{1}{2}×\sqrt{13}×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{39}}{2}$．
设点C到面ADE的距离为h，则$\frac{1}{3}×\frac{3}{2}×\sqrt{3}=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{39}}{2}h$，
∴h=$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，考查点到平面距离的计算，属于中档题．