Question

14．动直线y=a与圆x²+y²=1及直线2x+y-4=0分别交于P、Q两点，则|PQ|的最小值为2-$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 求出与直线2x+y-4=0平行的圆的切线方程，分别计算切线方程、直线2x+y-4=0与x轴交点的横坐标，即可得出|PQ|的最小值．

解答 解：设与直线2x+y-4=0平行的直线方程为2x+y+k=0，
则圆心O（0，0）到该直线的距离为d=$\frac{|k|}{\sqrt{{2}^{2}{+1}^{2}}}$=1，
解得k=±$\sqrt{5}$；
应取k=-$\sqrt{5}$，
所以切线方程为2x+y-$\sqrt{5}$=0；
令y=0，得x=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
直线2x+y-4=0中，令y=0，得x=2；
所以|PQ|的最小值为2-$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故答案为：2-$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查了直线与圆的方程的应用问题，也考查了转化思想的应用问题，是中档题．