Question

20．已知函数f（x）=log₂[ax²+（a-1）x+$\frac{1}{4}$]．
（1）若定义域为R，求实数a的取值范围；
（2）若值域为R，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）函数f（x）的定义域是使对数的真数有意义x的取值范围，故函数定义域为R等价于真数对应的二次函数取值恒大于零，由此不难列出根的判别式小于0，从而得到实数a的取值范围．
（2）函数f（x）的值域为R，说明对数的真数取到所有的正数，由此可得（0，+∞）包含于真数对应二次函数的值，由此可得根的判别大于或等于0，从而得到实数a的取值范围

解答 解：（1）若定义域为R，则ax²+（a-1）x+$\frac{1}{4}$＞0恒成立，
则$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\△={（a-1）}^{2}-a＜0\end{array}\right.$
得0＜a＜$\frac{3+\sqrt{13}}{2}$．------------------------------------------------------------（6分）
（2）若函数的值域是R，
则（0，+∞）包含于真数的取值范围，
∴a=0，或$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\△={（a-1）}^{2}-a≥0\end{array}\right.$
解得：a=0，或a≥$\frac{3+\sqrt{13}}{2}$．-------（12分）

点评 本题着重考查了对数型函数的定义域和值域、函数的图象与性质等知识点，属于中档题