Question

11．在直角坐标系xOy中，点P为曲线C：x²+y²-2x-2y=0上一点，点M为线段OP中点，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系．
（Ⅰ）求点M轨迹E的极坐标方程；
（Ⅱ）直线l₁：y=$\sqrt{3}$x，l₂：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x与轨迹E的交点分别为A，B，求△AOB的周长．

Answer 1

分析 （I）设M（x，y），则P（2x，2y），代入曲线C可得点M轨迹E的直角坐标方程，利用互化公式化为极坐标方程．
（II）由直线l₁：y=$\sqrt{3}$x，l₂：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，可得：θ₁=$\frac{π}{3}$，θ₂=$\frac{2π}{3}$．分别代入极坐标方程可得|OA|=ρ₁，|OB|=ρ₂．利用余弦定理可得|AB|，即可得出．

解答 解：（I）设M（x，y），则P（2x，2y），
代入曲线C可得：4x²+4y²-4x-4y=0，
化为x²+y²-x-y=0，即为点M轨迹E的直角坐标方程，
化为极坐标方程ρ²-ρcosθ-ρsinθ=0，
可得：ρ=cosθ+sinθ．
（II）由直线l₁：y=$\sqrt{3}$x，l₂：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
可得：θ₁=$\frac{π}{3}$，θ₂=$\frac{2π}{3}$．
∴ρ₁=$cos\frac{π}{3}+sin\frac{π}{3}$=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$．
ρ₂=$cos\frac{2π}{3}$+$sin\frac{2π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．
|AB|=$\sqrt{（\frac{1+\sqrt{3}}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}-1}{2}）^{2}-2×\frac{1+\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}-1}{2}×cos\frac{π}{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
∴△AOB的周长C=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$+$\frac{\sqrt{6}}{2}$=$\sqrt{3}$+$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标的互化、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．