Question

14．已知f（x）=（2-a）x-2（1+lnx）+a，g（x）=$\frac{ex}{e^x}$．
（1）若a=1，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）若对任意给定的x₀∈（0，e]，在（0，e²]上方程f（x）=g（x₀）总存在两个不等的实数根，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），求出切线方程即可；
（2）求出g（x）的范围，得到f（x）=g（x₀）?（2-a）（x-1）-g（x₀）=2lnx，记h（x）=（2-a）（x-1）-g（x₀），根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（1）a=1时，f（x）=x-2（1+lnx）+1，
f′（x）=1-$\frac{2}{x}$=$\frac{x-2}{x}$，
f（1）=0，f′（1）=-1，
故切线方程是：y=-x+1；
（2）g′（x）=（1-x）e^1-x，g（x）在（0，1）递增，在（1，e）递减，
而g（0）=0，g（1）=1，g（e）=e^2-e＞0，
∴g（x）∈（0，1]，
f（x）=g（x₀）?（2-a）（x-1）-g（x₀）=2lnx，
记h（x）=（2-a）（x-1）-g（x₀），
h（1）=-g（x₀）＜0，h′（x）=（2-a）-$\frac{2}{x}$，
①a≥2-$\frac{2}{{e}^{2}}$时，h（x）在（0，e²]递减，不可能有两个零点，
②a＜2-$\frac{2}{{e}^{2}}$时，h（x）在（0，$\frac{2}{2-a}$）递减，在（$\frac{2}{2-a}$，e²]递增，
h（${e}^{\frac{a-3}{2}}$）＞a-2-（a-3）-g（x₀）≥0，
h（x）有2个零点，
必有h（e²）≥0⇒a≤2-$\frac{5}{{e}^{2}-1}$，
综上：a≤2-$\frac{5}{{e}^{2}-1}$．

点评 本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．