Question

4．三棱锥A-BCD，∠BAC=∠BCD=90°，∠DBC=30°，AB=AC=$\sqrt{6}$，AD=4，求二面角A-BC-D的度数．

Answer 1

分析 取BC中点O，BD中点E，连结AO、EO，推导出AO⊥BC，EO⊥BC，则∠AOE是二面角A-BC-D的平面角，由此能求出二面角A-BC-D的度数．

解答 解：取BC中点O，BD中点E，连结AO、EO，
∵三棱锥A-BCD，∠BAC=∠BCD=90°，∠DBC=30°，AB=AC=$\sqrt{6}$，AD=4，
∴AO⊥BC，EO⊥BC，
∴∠AOE是二面角A-BC-D的平面角，
由题意AO=$\frac{1}{2}BC$=$\frac{1}{2}\sqrt{6+6}$=$\sqrt{3}$，
CD=$\sqrt{\frac{B{C}^{2}}{3}}$=$\sqrt{\frac{12}{3}}$=2，BD=4，OE=$\frac{1}{2}CD$=1，
AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}-2AD•DE•cos∠ADB}$
=$\sqrt{16+4-2×4×2×\frac{16+16-6}{2×4×4}}$
=$\sqrt{7}$，
∴cos∠AOE=$\frac{A{O}^{2}+E{O}^{2}-A{E}^{2}}{2•AO•EO}$=$\frac{3+1-7}{2•\sqrt{3}•1}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴二面角A-BC-D的度数为30°．

点评 本题考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用．