Question

13．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=t-3}\end{array}}\right.$（t为参数），在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为$ρ=\frac{2cosθ}{{{{sin}^2}θ}}$．
（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，求△AOB的面积．

Answer 1

分析 （1）将直线l的参数方程中两式相减可得直线l的普通方程；由ρ²sin²θ=2ρcosθ，代入x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得曲线C的直角坐标方程；
（2）联立直线l和曲线C的普通方程，解方程可得交点A，B，运用两点的距离公式和点到直线的距离公式，结合三角形的面积公式，计算即可得到所求值．

解答 解：（1）直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=t-3}\end{array}}\right.$（t为参数），
两式相减可得x-y=4，即有直线l的普通方程为x-y-4=0：
曲线C的极坐标方程为$ρ=\frac{2cosθ}{{{{sin}^2}θ}}$，即ρ²sin²θ=2ρcosθ，
代入x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得y²=2x；
（2）联立方程x-y-4=0和方程y²=2x，
消去y，可得x²-10x+16=0，
解得x₁=2，x₂=8，
可得交点A（2，-2），B（8，4），
即有|AB|=$\sqrt{（2-8）^{2}+（-2-4）^{2}}$=6$\sqrt{2}$，
O到直线l的距离为d=$\frac{|0-0-4|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，
则△AOB的面积为S=$\frac{1}{2}$d•|AB|=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×6$\sqrt{2}$=12．

点评 本题考查极坐标方程、参数方程化为直角坐标方程，注意运用极坐标和直角坐标的互化公式和代入法，考查直线和抛物线方程联立，求交点，运用点到直线的距离公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．