Question

13．在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=1+cosα\\ y=sinα\end{array}\right.（α$为参数），曲线C₂：$\frac{x^2}{2}+{y^2}$=1．
（Ⅰ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求C₁，C₂的极坐标方程；
（Ⅱ）射线θ=$\frac{π}{6}$（ρ≥0）与C₁的异于极点的交点为A，与C₂的交点为B，求|AB|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}\right.$可得C₁，C₂的极坐标方程；
（Ⅱ）求出A，B的极径，即可求|AB|．

解答 解：（Ⅰ）曲线${C_1}：\left\{\begin{array}{l}x=1+cosα\\ y=sinα\end{array}\right.（α$为参数）可化为普通方程：（x-1）²+y²=1，
由$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}\right.$可得曲线C₁的极坐标方程为ρ=2cosθ，曲线C₂的极坐标方程为ρ²（1+sin²θ）=2．
（Ⅱ）射线$θ=\frac{π}{6}（ρ≥0）$与曲线C₁的交点A的极径为${ρ_1}=2cos\frac{π}{6}=\sqrt{3}$，
射线$θ=\frac{π}{6}（ρ≥0）$与曲线C₂的交点B的极径满足${ρ_2}^2（1+{sin^2}\frac{π}{6}）=2$，解得${ρ_2}=\frac{{2\sqrt{10}}}{5}$，
所以$|{AB}|=|{{ρ_1}-{ρ_2}}|=\sqrt{3}-\frac{{2\sqrt{10}}}{5}$．

点评 本题考查了直角坐标方程转化为极坐标方程、直线与圆的相交问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．