Question

8．四面体ABCD中，AB、AC、AD两两垂直，且AB=1，AC=2，AD=4，则点A到平面BCD的距离是$\frac{4\sqrt{21}}{21}$．

Answer 1

分析 在△BCD中，利用余弦定理可得cos∠BCD，进而得到sin∠BCD，S_△BCD．设点A到平面BCD的距离是h，利用V_A-BCD=V_D-ABC，即可得出．

解答 解：如图所示，
∵AB、AC、AD两两垂直，
∴在Rt△BAD中，BD=$\sqrt{{1}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{17}$，同理可得BC=$\sqrt{5}$，CD=2$\sqrt{5}$．
在△BCD中，cos∠BCD=$\frac{（\sqrt{5}）^{2}+（2\sqrt{5}）^{2}-（\sqrt{17}）^{2}}{2×\sqrt{5}×2\sqrt{5}}$=$\frac{2}{5}$．
∴sin∠BCD=$\sqrt{1-（\frac{2}{5}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{21}}{5}$．
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}×\sqrt{5}×2\sqrt{5}×\frac{\sqrt{21}}{5}$=$\sqrt{21}$．
设点A到平面BCD的距离是h，
则V_A-BCD=V_D-ABC，
∴$\frac{1}{3}×h×{S}_{△BCD}$=$\frac{1}{3}×AD×$S_△ABC，
∴h=$\frac{4×\frac{1}{2}×1×2}{\sqrt{21}}$=$\frac{4\sqrt{21}}{21}$．
故答案为：$\frac{4\sqrt{21}}{21}$．

点评 本题考查了三棱锥的体积计算公式、线面垂直的性质、勾股定理、余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．