Question

2．已知圆C经过三点O（0，0），M₁（1，1），M₂（4，2）．
（1）求圆C的方程；
（2）设直线x-y+m=0与圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x²+y²=5上，求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）设出圆的一般方程，利用待定系数法列出方程组，即可求出圆的方程；
（2）设出点A、B以及AB的中点M的坐标，由方程组$\left\{\begin{array}{l}{{（x-4）}^{2}{+（y+3）}^{2}=25}\\{x-y+m=0}\end{array}\right.$和中点坐标公式求出点M的坐标，代入圆的方程x²+y²=5中，即可求出m的值．

解答 解：（1）设过点O、M₁和M₂圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
则$\left\{\begin{array}{l}{F=0}\\{2+D+E+F=0}\\{20+4D+2E+F=0}\end{array}\right.$，
解得D=-8，E=6，F=0；
所求圆的方程为x²+y²-8x+6y=0，
化为标准方程是：（x-4）²+（y+3）²=25；
（2）设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点M（x₀，y₀），
由方程组$\left\{\begin{array}{l}{{（x-4）}^{2}{+（y+3）}^{2}=25}\\{x-y+m=0}\end{array}\right.$，消去y得2x²+2（m-1）x+m²+6m=0，
所以x₀=$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$=$\frac{1-m}{2}$，y₀=x₀+m=$\frac{1+m}{2}$，
因为点M在圆上，所以${{x}_{0}}^{2}$+${{y}_{0}}^{2}$=5，
所以${（\frac{1-m}{2}）}^{2}$+${（\frac{1+m}{2}）}^{2}$=5，
解得m=±3；
又△=4（m-1）²-4•2（m²+6m）＞0，
解得-7-5$\sqrt{2}$＜m＜-7+5$\sqrt{2}$，
综上，m=-3．

点评 本题考查了待定系数法求圆的方程的应用问题，也考查了函数与方程思想的合理运用问题，是综合题．