Question

10．如图，直线AB经过⊙O上一点C，⊙O的半径为3，△AOB是等腰三角形，且C是AB中点，⊙O交直线OB于E、D．
（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；
（Ⅱ）若∠CED的正切值为$\frac{1}{2}$，求OA的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接OC，证明：OC⊥AB，即可证明直线AB与⊙O相切；
（Ⅱ）证明△BCD∽△BEC，可得$\frac{BD}{BC}=\frac{CD}{EC}=\frac{1}{2}$，利用切割线定理，求OA的长．

解答 解：（Ⅰ）连接OC，
∵OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB，
∴AB是⊙O的切线，即直线AB与⊙O相切．
证明：（Ⅱ）依题意知，DE是直径，
∴∠ECD=90°，
∴在Rt△ECD中，由tan∠CED=$\frac{1}{2}$，得$\frac{CD}{EC}=\frac{1}{2}$，
∵AB是⊙O的切线，
∴∠BCD=∠E，
又∵∠CBD=∠EBC，
∴△BCD∽△BEC，
∴$\frac{BD}{BC}=\frac{CD}{EC}=\frac{1}{2}$，设BD=x，则BC=2x，
又BC²=BD•BE，
∴（2x）²=x•（x+6），解得x₁=0，x₂=2，
∵BD=x＞0，
∴BD=2，
∴OA=OB=BD+OD=3+2=5．

点评 本题考查圆的切线的证明，考查三角形相似的判定与性质，考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．