Question

4．已知ED⊥平面ABCD，O为正方形ABCD的中心，FB∥ED且AD=ED=2FB．
（1）求证：EO⊥平面FAC；
（2）求二面角F-EC-D的正弦值．

Answer 1

分析 （1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明EO⊥平面FAC．
（2）求出平面EFC的法向量和平面DCE的法向量，利用向量法能求出二面角F-EC-D的正弦值．

解答 证明：（1）∵ED⊥平面ABCD，O为正方形ABCD的中心，
∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，
设AD=ED=2FB=2，
则E（0，0，2），O（1，1，0），F（2，2，1），A（2，0，0），C（0，2，0），
$\overrightarrow{EO}$=（1，1，-2），$\overrightarrow{FA}$=（0，-2，-1），$\overrightarrow{FC}$=（-2，0，-1），
∵$\overrightarrow{EO}$•$\overrightarrow{FA}$=0-2+2=0，$\overrightarrow{EO}•\overrightarrow{FC}$=-2+0+2=0，
∴EO⊥FA，EO⊥FC，
∵FA∩FC=F，∴EO⊥平面FAC．
解：（2）$\overrightarrow{EF}$=（2，2，-1），$\overrightarrow{EC}$=（0，2，-2），
设平面EFC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{n}=2x+2y-z=0}\\{\overrightarrow{EC}•\overrightarrow{n}=2y-2z=0}\end{array}\right.$，
取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（-$\frac{1}{2}$，1，1），
平面DCE的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
设二面角F-EC-D的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{9}{4}}}$=$\frac{1}{3}$．sinθ=$\sqrt{1-\frac{1}{9}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
∴二面角F-EC-D的正弦值为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．