Question

16．极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）与曲线C交于A，B两点，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）将极坐标方程两边同乘ρ，进而根据ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，可求出C的直角坐标方程；
（2）将直线l的参数方程，代入曲线C的直角坐标方程，求出对应的t值，根据参数t的几何意义，求出|AB|．

解答 解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）
∴ρ²=2ρcosθ+2ρsinθ
∴x²+y²=2x+2y
即（x-1）²+（y-1）²=2------（5分）
（2）将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，
得t²-t-1=0，
所以|AB|=|t₁|+|t₂|=|t₁-t₂|=$\sqrt{1+4}$=$\sqrt{5}$．-------------------------（10分）

点评 本题考查的知识点是参数方程与普通方程，直线与圆的位置关系，极坐标，熟练掌握极坐标方程与普通方程之间互化的公式，及直线参数方程中参数的几何意义是解答的关键．