Question

4．已知函数f（x）=lg$\frac{x-a}{x+1}$（a∈R）．
（1）若f（x）是定义域上奇函数，求a的值；
（2）若函数在[1，+∞）上单增，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若函数f（x）=lg$\frac{x-a}{x+1}$是定义域上奇函数，则f（-x）=-f（x）恒成立，进而得到满足条件的a的值；
（2）若函数在[1，+∞）上单增，则t=$\frac{x-a}{x+1}$在[1，+∞）上单增，且$\frac{x-a}{x+1}$＞0恒成立，进而可得a的取值范围．

解答 解：（1）若函数f（x）=lg$\frac{x-a}{x+1}$是定义域上奇函数，
则f（-x）=-f（x）恒成立，
即lg$\frac{-x-a}{-x+1}$=-lg$\frac{x-a}{x+1}$恒成立，
即$\frac{-x-a}{-x+1}$•$\frac{x-a}{x+1}$=1恒成立，
解得：a=±1，
经检验，a=1时，f（x）是奇函数；
a=-1时，f（x）的定义域是{x|x≠-1}不是奇函数；
故a=1；
（2）若函数在[1，+∞）上单增，
则t=$\frac{x-a}{x+1}$在[1，+∞）上单增，且$\frac{x-a}{x+1}$＞0恒成立，
则$\left\{\begin{array}{l}-a-1＜0\\ \frac{1-a}{2}＞0\end{array}\right.$，
解得：a∈（-1，1）

点评 本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数恒成立问题，函数的单调性，难度中档．