Question

1．已知曲线C的极坐标方程是$\frac{2}{{ρ}^{2}}$=1+sin²θ，直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{2}}{2}t+1}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）
（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设直线l与x轴的交点是P，直线l与曲线C交于M，N两点，求$\frac{1}{|PM|}$+$\frac{1}{|PN|}$的值．

Answer 1

分析 （1）将曲线C变形为ρ²+ρ²sin²θ=2，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，代入即可得到所求曲线C的直角坐标方程；
（2）令y=0，可得P（1，0），将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，求得t的两解，由参数的几何意义，计算即可得到所求和．

解答 解：（1）曲线C的极坐标方程是$\frac{2}{{ρ}^{2}}$=1+sin²θ，
即为ρ²+ρ²sin²θ=2，
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，
可得x²+y²+y²=2，
即$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{2}}{2}t+1}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）
令y=0，可得t=0，x=1，即P（1，0），
将直线l的参数方程代入曲线C：x²+2y²=2，可得：
1-$\sqrt{2}$t+$\frac{1}{2}$t²+2•$\frac{1}{2}$t²=2，
即为3t²-2$\sqrt{2}$t-2=0，
解得t₁=$\sqrt{2}$，t₂=-$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
由参数t的几何意义可得，
$\frac{1}{|PM|}$+$\frac{1}{|PN|}$=$\frac{1}{|{t}_{1}|}$+$\frac{1}{|{t}_{2}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{3}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化，注意运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，考查直线的参数方程的运用，注意运用参数的几何意义，考查联立方程解方程思想，属于基础题．