Question

18．某单位用3240万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少15层的小高层、每层3000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x（x≥15）层，则每平方米的平均建筑费用为840+kx（单位：元）．已知盖15层每平方米的平均建筑费用为1245元．
（1）求k的值；
（2）当楼房建为多少层时，楼房每平方米的平均综合费用最少？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=$\frac{购地总费用}{建筑总面积}$）

Answer 1

分析 （1）由代入和解方程，可得840+15k=1245的解；
（2）设楼房每平方米的平均综合费用为f（x）元，可得f（x）=（840+27x）+$\frac{3240×10000}{3000x}$，求出导数和单调区间，可得极小值点，且为最小值点．

解答 解：（1）由题意可得840+15k=1245，解得k=27；
（2）设楼房每平方米的平均综合费用为f（x）元，
则f（x）=（840+27x）+$\frac{3240×10000}{3000x}$=840+27x+$\frac{10800}{x}$，x＞0且x∈N*，
f′（x）=27-$\frac{10800}{{x}^{2}}$，令f′（x）=0得x=20，

x	（0，20）	x=20	（20，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	递减	极小值	递增

所以当x=20时，f（x）有最小值．
答：为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为20层．

点评 本题考查导数在实际问题中的应用：求最值，考查化简整理的运算能力，正确列出函数的解析式和求出导数是解题的关键，属于基础题．