Question

6．如图，已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD的边长为2的菱形，∠BCD=120°，AP=BP，∠APB=90°，PC=2，过BC作平面BCEF，交PD于点E，交AP于点F．
（1）求证：AD∥EF；
（2）求二面角B-PC-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据题设条件推导出BC∥平面PAD，EF?平面PAD，且BC与EF共面，由此能证明AD∥EF．
（2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用向量法进行求解

解答 证明：（1）∵底面ABCD是边长为2的菱形，∴AD∥BC，
∵AD?平面PAD，BC?平面PAD，∴BC∥平面PAD，
∵过BC作平面BCEF，交PD于点E，交AP于点F，
∴EF?平面PAD，且BC与EF共面，
∵BC∥平面PAD，EF?平面PAD，且BC与EF共面，
∴AD∥EF．
解：（2）：∵底面ABCD是边长为2的菱形，AP=BP，
∴取AB的中点O，则PO⊥AB，CO⊥AB，
∵PO∩OC=0，∴AB⊥面ABC，∵PC?面ABC，∴AB⊥PC；
底面ABCD是边长为2的菱形，AP=BP，
取AB的中点O，则PO⊥AB，CO⊥AB，
∵PO∩OC=0，∴AB⊥面ABC，∵PC?面ABC，∴AB⊥PC，
∵底面ABCD是边长为2的菱形，∠BCD=120°，∠APB=90°，PC=2，
∴OA=OB=1，OC=$\sqrt{3}$，OP=OA=1，
则OP²+OC²=1+3=4=PC²，即△POC为直角三角形，
则PO⊥OC，则PC⊥面ABC，
建立以O为坐标原点，OA，OC，OP分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
则A（1，0，0），B（-1，0，0），C（0，$\sqrt{3}$，0），P（0，0，1），
则$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{BA}$=（2，0，0），$\overrightarrow{PC}$=（0，$\sqrt{3}$，-1），$\overrightarrow{BP}$=（1，0，1），
设$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）为平面BPC的法向量，
则由$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{CD}$=0，且$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{PC}$=0得，$\left\{\begin{array}{l}{2x=0}\\{\sqrt{2}y-z=0}\end{array}\right.$，
令y=1，则z=$\sqrt{3}$，x=0，$\overrightarrow{m}$=（0，1，$\sqrt{3}$）
设$\overrightarrow{n}$=（a，b，c）为平面PCD的一个法向量，
由$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{BP}$=0，且$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{PC}$=0得，$\left\{\begin{array}{l}{a+c=0}\\{\sqrt{3}b-c=0}\end{array}\right.$，
令y=$\sqrt{3}$，则z=3，x=-3，$\overrightarrow{n}$=（-3，$\sqrt{3}$，3），
则cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}+3\sqrt{3}}{\sqrt{4}•\sqrt{21}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
∵二面角B-PC一D的为钝二面角，
∴二面角B-PC-D的余弦值为-$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

点评 本小题主要考查直线垂直的判断和二面角的求解，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，综合性较强，运算量较大．