Question

19．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为3，E为CD的中点，则点D₁到平面AEC₁的距离为（　　）

• A． $\sqrt{6}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 利用${V}_{{D}_{1}-AE{C}_{1}}$=${V}_{A-E{C}_{1}{D}_{1}}$，即可求出点D₁到平面AEC₁的距离．

解答 解：设点D₁到平面AEC₁的距离为h．
如图所示△AEC₁中，AE=EC₁=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，AC₁=3$\sqrt{3}$，
∴${S}_{△AE{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}×3\sqrt{3}×\sqrt{（\frac{3\sqrt{5}}{2}）^{2}-（\frac{3\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\frac{9\sqrt{6}}{4}$，
∵${V}_{{D}_{1}-AE{C}_{1}}$=${V}_{A-E{C}_{1}{D}_{1}}$，
∴$\frac{1}{3}×\frac{9\sqrt{6}}{4}h=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×3×3×3$，
∴h=$\sqrt{6}$，
∴点D₁到平面AEC₁的距离为$\sqrt{6}$，
故选：A．

点评 本题以正方体为载体，考查了立体几何中点、线、面的距离的计算，属于中档题．运用体积计算公式，进行等体积转换来求点到平面的距离，是解决本题的关键．