Question

9．已知圆心为C的圆经过点（1，1），（2，-2），且圆心C在直线l：x-y+1=0上，
（1）求圆C的方程；
（2）过A（1，0）的直线交圆C于E、F两点，求弦EF中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）求出线段PQ的垂直平分线的方程，确定圆心坐标与半径，写出圆的方程即可．
（2）分类讨论，利用CM⊥CM⊥AM，可求弦EF中点M的轨迹方程．

解答 解：（1）∵P（1，1），Q（2，-2），
∴${k_{PQ}}=\frac{-2-1}{2-1}=-3$且PQ的中点$（\frac{3}{2}，-\frac{1}{2}）$，
因此线段PQ的垂直平分线的方程为$y+\frac{1}{2}=\frac{1}{3}（x-\frac{3}{2}）$，即x-3y-3=0，
圆心C的坐标是方程组$\left\{{\begin{array}{l}{x-3y-3=0}\\{x-y+1=0}\end{array}}\right.$的解，解得C（-3，-2），r²=|PC|²=25．
∴圆C的方程为（x+3）²+（y+2）²=25．
（2）由题知，当M不与A、C重合时，CM⊥AM，则M在以AC为直径的圆上； 
当M与A、C重合时，显然在以AC为直径的圆上．
因为 A（1，0），C（-3，-2），所以M点的轨迹方程为（x-1）[x-（-3）]+（y-0）[y-（-2）]=0，
整理得（x+1）²+（y+1）²=5．

点评 此题是一道综合题，要求学生会根据圆心和半径写出圆的方程，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．